Aleksandra Kurzak w wieku 7 lat rozpoczęła naukę gry na skrzypcach i fortepianie. Ukończyła wydział wokalny Akademii Muzycznej we Wrocławiu oraz Hochschule für Musik und Theater w Hamburgu. Jest laureatką konkursów wokalnych w Warszawie, Helsinkach, Barcelonie i Kantonie. Jeszcze podczas studiów w 1999 roku zadebiutowała jako Zuzanna w Weselu Figara na scenie Opery Wrocławskiej.
W wieku 27 lat wystąpiła w dwóch najbardziej prestiżowych teatrach operowych świata. Rola Olimpii w Opowieściach Hoffmanna w Metropolitan Opera zdobyła wielkie uznanie wśród nowojorskich krytyków muzycznych, którzy jednogłośnie wypowiadali się na łamach prasy o sensacyjnym debiucie polskiej śpiewaczki. Z równie entuzjastycznym odbiorem artystka spotkała się także jako Aspasia w londyńskim przedstawieniu Mitridate, re di Ponto w Royal Opera House.
Aleksandra Kurzak powróciła do MET, występując w roli Blondy w Uprowadzeniu z Seraju, Gildy w Rigoletto, Małgosi w operze Jaś i Małgosia, Adiny w Napoju miłosnym, Neddy w Pajacach, Micaeli w Carmen, oraz w roli Violetty w Traviacie, odnosząc prawdziwy triumf na tej scenie. Artystka regularnie powraca również do Royal Opera House w Londynie, która stała się niemal jej macierzystym teatrem. Wystąpiła tam także jako Norina w Don Pasquale, Adina w Napoju miłosnym, Zuzanna, a także jako tytułowa Matylda w Matilde di Shabran, Donna Fiorilla w Turku w Italii, Rozyna w Cyruliku sewilskim, Gilda w Rigoletto, tytułowa Lucia di Lammermoor, Liu w Turandot oraz Violetta w Traviacie.
Aleksandra Kurzak regularnie występuje na najważniejszych scenach i estradach świata: Teatro alla Scala w Mediolanie (Gilda, Zuzanna, Hrabina w operze Rossiniego Hrabia Ory), Wiener Staatsoper (Rozyna, Adina, Zuzanna, Violetta w Traviacie, Maria w Córce pułku, Desdemona w verdiowskim Otello, Liu w Turandot, Nedda w Pajacach), Bayerische Staatsoper w Monachium (Kleopatra w Juliuszu Cezarze, Adela w Zemście nietoperza, Rozyna, Donna Fiorilla, Rachel w Żydówce, oraz tytułowa Madama Butterfly), Teatro Massimo w Palermo (Norina, Santuzza), Welsh National Opera w Cardiff (Aspasia), Théâtre du Capitole w Tuluzie (Gilda), Theater an der Wien (Donna Anna w Don Giovannim, Amenaide w Tancredzie), Palau de les Arts Reina Sofía w Walencji (Adina), Lyric Opera House w Chicago (Blonde), Staatsoper w Berlinie (Królowa Nocy w Czarodziejskim flecie, Mimi w Cyganerii), w Operze w Helsinkach (Gilda), na letnim festiwalu w Salzburgu (Anusia w Wolnym strzelcu, Donna Anna), w Accademia Nazionale di Santa Cecilia w Rzymie (Carmina Burana), Teatro La Fenice w Wenecji (Donna Anna), Teatro Regio di Torino (Violetta), Teatro Regio di Parma (Gilda), Gran Teatre del Liceu w Barcelonie (Adina, Nedda), w Teatrze Wielkim – Operze Narodowej w Warszawie (Hanna w Strasznym dworze, Gilda, Violetta, Łucja), Teatro Real w Madrycie (Zuzanna, Maria), Arena di Verona (Rozyna, Julia w Romeo i Julii, Gilda), Los Angeles Opera (Fiordiligi w Così fan tutte), San Francisco Opera (Gilda), Seattle Opera (tytułowa Łucja z Lammermoor).
Bardzo ważną sceną w karierze Aleksandry Kurzak stała się Opera National de Paris (Opera Bastille oraz Palais Garnier), gdzie zadebiutowała rolą Adiny w Napoju miłosnym, a następnie konsekwentnie powiększała swój repertuar, wykonując szereg nowych partii, takich jak Micaela w Carmen, Alice Ford w Falstaffie, Vitellia w Łaskawości Tytusa, Violetta w Traviacie, Desdemona w verdiowskim Otellu, oraz Elisabetta w Don Carlosie.
Aleksandra Kurzak jako pierwsza Polka w historii wokalistyki podpisała ekskluzywny kontrakt z firmą fonograficzną DECCA. W sierpniu 2011 roku ukazał się jej pierwszy solowy album Gioia!, który osiągnął status platynowej płyty. Kolejne albumy artystki to Bel Raggio z ariami Rossiniego oraz Hej, kolęda! z najpiękniejszymi polskimi kolędami. Obydwa nagrania zostały nagrodzone złotą płytą. Natomiast album Pieśni Fryderyka Chopina dla Narodowego Instytutu Fryderyka Chopina otrzymał prestiżowe wyróżnienie Diapason d’or.
W 2018 Aleksandra Kurzak jest związana z firmą fonograficzną SONY, dla której w towarzystwie Roberto Alagni nagrała swój pierwszy album z duetami Pucciniego, zatytułowany Puccini in Love, a w tym roku ukazała się jej nowa solowa płyta solowa Desire. Aleksandra Kurzak w minionym sezonie nagrywała także dla Deutsche Grammophon oraz Warner Classics.
W 2009 roku uzyskała tytuł doktora sztuki, a w 2016 tytuł doktora habilitowanego.
Aleksandra Kurzak otrzymała dwukrotnie stypendium Ministra Kultury i Sztuki, a także stypendium fundacji Crescendum Est – Polonia Aleksandra Gudzowatego. Za swoje osiągnięcia została uhonorowana nagrodami Prezydenta Wrocławia, Wojewody Dolnośląskiego oraz Ministra Kultury i Sztuki. Jest także laureatką nagrody Akademii Telewizyjnej Wiktor oraz nagrody TVP Kultura Gwarancja Kultury. W 2015 roku otrzymała operowego Oskara International Opera Award 2015 i została laureatką Bachtrack Opera Award jako najlepsza śpiewaczka mijającego sezonu za rolę Donny Fiorilli w Royal Opera House w Londynie.
Została odznaczona Złotym Krzyżem Zasługi, a także Złotym Medalem „Zasłużony Kulturze Gloria Artis”.
W najbliższej przyszłości artystka ponowne wcieli się w takie role jak Nedda i Santuzza w Arenie di Verona, Madama Butterfly w Staatsoper w Berlinie i w Monte Carlo oraz jako tutułowa Floria Tosca w Operze Narodowej w Paryżu, Liu w Tokyo oraz jako Musetta i ponownie jako Tosca w Metropolitan Opera w Nowym Jorku.
