W wieku siedmiu lat rozpoczęła naukę gry na skrzypcach i fortepianie. Ukończyła Wydział Wokalny Akademii Muzycznej we Wrocławiu oraz Hochschule für Musik und Theater w Hamburgu. Laureatka konkursów wokalnych w Warszawie, Helsinkach, Barcelonie Kantonie.
Jeszcze podczas studiów w 1999 roku zadebiutowała jako Susanna w Weselu Figara na scenie Opery Wrocławskiej. W wieku 27 lat wystąpiła w dwóch najbardziej prestiżowych teatrach operowych świata. Rola Olimpii w Opowieściach Hoffmanna w Metropolitan Opera w Nowym Jorku zdobyła wielkie uznanie wśród nowojorskich krytyków muzycznych, którzy jednogłośnie wypowiadali się na łamach prasy o sensacyjnym debiucie polskiej śpiewaczki. Z równie entuzjastycznym odbiorem artystka spotkała się także jako Aspasia w londyńskim przedstawieniu Mitridate, re di Ponto w Royal Opera House. Powróciła do MET, występując w rolach: Blondy w Uprowadzeniu z seraju, Gildy w Rigoletcie, Małgosi w operze Jaś i Małgosia, Adiny w Napoju miłosnym, Neddy w Pajacach, Micaeli w Carmen, Musetty w Cyganerii oraz Violetty w Traviacie i tytułowej Toski, odnosząc prawdziwy triumf na tej scenie.
Artystka regularnie wraca również do Opery Królewskiej w Londynie, która stała się niemal jej macierzystym teatrem. Wystąpiła tam także jako: Norina w Don Pasquale, Adina w Napoju miłosnym, Susanna, a także jako tytułowa Matylda w Matilde di Shabran, Donna Fiorilla w Turku w Italii, Rosina w Cyruliku sewilskim, Gilda w Rigoletcie, tytułowa Łucja z Lammermooru, Liu w Turandot, Violetta w Traviacie, Nedda w Pajacach oraz Santuzza w Rycerskości wieśniaczej.
Aleksandra Kurzak regularnie występuje na najważniejszych scenach i estradach świata, takich jak: Teatro alla Scala w Mediolanie (Gilda, Susanna, Hrabina w Hrabim Ory), Wiener Staatsoper (Rosina, Adina, Susanna, Violetta w Traviacie, Maria w Córce pułku, Desdemona w verdiowskim Otellu, Liu w Turandot, Nedda w Pajacach), Bayerische Staatsoper w Monachium (Kleopatra w Juliuszu Cezarze, Adela w Zemście nietoperza, Rosina, Donna Fiorilla, Rachel w Żydówce, tytułowa Madame Butterfly i Violetta), Teatro Massimo w Palermo (Norina, Santuzza w Rycerskości wieśniaczej), Welsh National Opera w Cardiff (Aspasia), Théâtre du Capitole w Tuluzie (Gilda), Theater an der Wien (Donna Anna w Don Giovannim, Amenaide w Tancredzie), Palau de les Arts Reina Sofía w Walencji (Adina), Lyric Opera House w Chicago (Blonde), Staatsoper w Berlinie (Królowa Nocy w Czarodziejskim flecie, Mimi w Cyganerii, Madame Butterfly), Deutsche Oper w Berlinie (Violetta, Nedda), w Operze w Helsinkach (Gilda), na letnim Festiwalu w Salzburgu (Anusia w Wolnym strzelcu, Donna Anna), w Accademia Nazionale di Santa Cecilia w Rzymie (Carmina burana), Teatro La Fenice w Wenecji (Donna Anna), Teatro Regio di Torino (Violetta), Teatro Regio di Parma (Gilda), Gran Teatre del Liceu w Barcelonie (Adina, Nedda), w Teatrze Wielkim - Operze Narodowej w Warszawie (Hanna w Strasznym dworze, Gilda, Violetta, Łucja, Madame Butterfly), Teatro Real w Madrycie (Susanna, Maria), Arena di Verona (Rosina, Julia w Romeo i Julii, Gilda, Violetta, Nedda oraz Santuzza), Los Angeles Opera (Fiordiligi w Così fan tutte), San Francisco Opera (Gilda), Seattle Opera (Łucja z Lammermooru), Teatro di San Carlo w Neapolu (Violetta, Rosina w Cyruliku sewilskim), Teatro dell’Opera di Roma (Adina). Bardzo ważną sceną w karierze Aleksandry Kurzak stała się Opéra National de Paris (Opéra Bastille oraz Palais Garnier), gdzie zadebiutowała rolą Adiny w Napoju miłosnym, potem konsekwentnie poszerzała swój repertuar, wykonując szereg nowych partii, takich jak: Micaëla w Carmen, Alice Ford w Falstaffie, Vitellia w Łaskawości Tytusa, Violetta w Traviacie, Desdemona w Otellu oraz Elżbieta w pięcioaktowej wersji Don Carla.
Jako pierwsza Polka w historii wokalistyki podpisała ekskluzywny kontrakt z firmą fonograficzną DECCA. W sierpniu 2011 roku ukazał się jej pierwszy solowy album Gioia!, który osiągnął status platynowej płyty. Kolejne albumy artystki, to: Bel Raggio z ariami Rossiniego oraz Hej, kolęda! z najpiękniejszymi polskimi kolędami. Obydwa nagrania zostały Złotą Płytami. Album Pieśni Fryderyka Chopina dla Narodowego Instytutu Fryderyka Chopina otrzymał prestiżowe wyróżnienie Diapason d’or. Od 2018 roku artystka związana jest z firmą SONY, dla której w towarzystwie Roberta Alagni nagrała swój pierwszy album z duetami Pucciniego zatytułowany Puccini in Love. W 2020 roku ukazała się jej nowa solowa płyta Desire. Aleksandra Kurzak nagrywała także dla Deutsche Grammophon i Warner Classics. W 2021 roku ukazała się jej kolejna solowa płyta Mozart Concertante (Aparte).
W 2009 roku uzyskała tytuł doktora sztuki, w 2016 tytuł doktora habilitowanego a w 2021 otrzymała tytuł profesora belwederskiego. Dwukrotna stypendystka Ministra Kultury i Sztuki, a także fundacji Crescendum Est – Polonia Aleksandra Gudzowatego. Za swoje osiągnięcia została uhonorowana nagrodami: Prezydenta Wrocławia, Wojewody Dolnośląskiego oraz Ministra Kultury i Sztuki. Jest także laureatką Wiktora, nagrody Akademii Telewizyjnej oraz nagrody TVP Kultura Gwarancja Kultury. W 2015 roku otrzymała operowego Oscara (International Opera Award) i została laureatką Bachtrack Opera Award jako najlepsza śpiewaczka mijającego sezonu za rolę Donny Fiorilli w londyńskim Royal Opera House. Uhonorowana została Złotym Krzyżem Zasługi, a także Złotym Medalem „Zasłużony Kulturze Gloria Artis”.
W 2014 roku ukazała się pierwsza biografia artystki, książka Si, Amore w formie wywiadu rzeki, napisana przez Aleksandra Laskowskiego dla PWM. Natomiast jesienią 2022 roku na rynku wydawniczym pojawiło się wspólne dzieło Aleksandry Kurzak i Marzeny Rogalskiej Dobrissimo! Opera od kuchni (ZNAK), będące zbiorem opowieści o miłości do opery i kuchni, a zarazem wyjątkową jej biografią.
W najbliższych planach ma występy w MET w roli Adiny, Liu oraz Madamy Butterfly, w Staatsoper Berlin jako Elżbieta w Don Carlosie i Tosca, na jubileuszowym 100. Festiwalu w Arena di Verona jako tytułowa Tosca i Madame Butterfly oraz jako Santuzza w londyńskim ROH.
