Urodził się w Santa Cruz na Teneryfie. Studiował w tamtejszym konserwatorium, Escuela Superior de Canto Reina Sofía w Madrycie, a następnie w Busseto Academy (Włochy) pod kierunkiem Carlo Bergonzi. Występował na najbardziej prestiżowych scenach operowych świata: Metropolitan Opera, La Scali, wiedeńskiej Staatsoper, Deutsche Oper, Teatru Bolszoj, londyńskiej Opery Królewskiej, Gran Teatre del Liceu, Teatro Real, Opéra National w Paryżu, Teatro San Carlo w Neapolu, Fenice w Wenecji i Massimo w Palermo, a także na wielu innych we Włoszech, Hiszpanii, Niemczech, Japonii, Chinach, Szwajcarii, Belgii, Francji, Monte Carlo i Chile.
Swój repertuar prezentował także na festiwalach Maggio Musicale Fiorentino, Festiwalu Operowym Rossiniego w Pesaro, Terme di Caracalla w Rzymie, Castell de Peralada (Hiszpania), Festiwalu w Savonlinnie, londyńskich Proms oraz Festspielehaus w Baden-Baden. Często występuje w Hiszpanii, m.in. Bilbao, Santa Cruz na Teneryfie, Las Palmas de Gran Canaria, A Coruña, Sevilli, Oviedo, Valencii i Mahón. Obecnie jego repertuar obejmuje ponad 25 ról, z czego większość to partie w operach Donizettiego, Belliniego, Rossiniego i Verdiego. Jest laureatem nagrody japońskiego magazynu „Ongakunotomo”; został także mianowany honorowym konsultantem muzycznym Opery Guangzhou w Kantonie (Chiny) obok takich artystów, jak Anne-Sophie Mutter i Władimir Aszkenazi.
Wykonywał koncerty i recitale w najbardziej prestiżowych salach koncertowych Hiszpanii, Japonii, USA, Belgii, Włoch, Holandii i Anglii pod batutą takich dyrygentów, jak: Pappano, Mehta, Harding, Oren, Zedda, Santi, Frühbeck de Burgos, Rizzi, Pidò i Frizza.
Celso Albelo otrzymał nagrodę Ópera Actual (2008), Oscar della Lirica w ramach konkursu International Opera Awards (2010, 2012), Nagrodę Operową Teatro Campoamor dla najlepszego debiutanta (2010) i najlepszego śpiewaka sezonu (2012), Nagrodę Giuseppe Lugo (2013) i Nagrodę Magazynu „Codalario” (2014). W 2013 roku został uhonorowany Złotym Medalem Wysp Kanaryjskich, a w maju 2016 honorowym obywatelstwem miasta La Laguna.
