Ukończył filozofię na Uniwersytecie Warszawskim oraz studia wokalno-aktorskie na Yale University. Artysta jest laureatem pierwszej nagrody w Międzynarodowym Konkursie Wokalnym Klassik-Mania w Wiedniu.
Od roku 2010 do 2017 był solistą bydgoskiej Opery Nova, gdzie występował w wiodących rolach tenorowych: jako Książę w Rigoletto i Alfredo w Traviacie G. Verdiego, jako Rodolfo w Cyganerii G. Pucciniego, Książę w Rusałce A. Dwořáka, Enzo w Giocondzie A. Ponchiellego, Jontek w Halce S. Moniuszki, Tamino w Czarodziejskim flecie W. A. Mozarta. Występował także w roli Gustawa w Balu maskowym G. Verdiego, Roberto w Marii Stuardzie G. Donizettiego oraz Pinkertona w Madamie Butterfly G. Pucciniego. Wykonuje także dzieła oratoryjne, np.: Messa da Requiem G. Verdiego, IX Symfonia L. v. Beethovena oraz Requiem W. A. Mozarta.
W 2008 roku Tadeusz Szlenkier zaśpiewał partię Pasterza w Królu Rogerze K. Szymanowskiego podczas Bard Summer Festival w Annandale-on-Hudson. Było to pierwsze sceniczne wystawienie tej opery w Stanach Zjednoczonych. W 2010 roku reprezentował Polskę na koncertach organizowanych w ramach targów EXPO w Szanghaju. W 2012 roku wystąpił w roli tytułowej w Idomeneo W. A. Mozarta w Teatro Municipal w Limie w Peru. W 2015 roku zadebiutował na scenie Teatru Wielkiego - Opery Narodowej w partii Pinkertona w Madamie Butterfly G. Pucciniego. Na scenę tego teatru artysta powrócił jeszcze wielokrotnie w roli Stefana w Strasznym dworze S. Moniuszki. W roku 2017 zadebiutował w Nederlandse Reisopera jako Rodolfo w Cyganerii G. Pucciniego.
W sezonie 2017/2018 Tadeusz Szlenkier zaśpiewał tytułową rolę w premierowej produkcji opery Eros i Psyche L. Różyckiego, wystąpił jako Książę Mantui w Rigoletto oraz Pinkerton w Madamie Butterfly w Teatrze Wielkim - Operze Narodowej. Artysta zadebiutował także w roli Don José w Carmen G. Bizeta na scenie Opery Wrocławskiej. Sezon 2018/2019 rozpocznie jako etatowy solista Staatstheater Nürnberg w Niemczech.
Tadeusz Szlenkier współpracował z takimi dyrygentami jak: Edward Cumming, Leon Botstein, Giuseppe Grazioli, Jeremy Silver, Antoni Wit, Uwe Theimer, Eraldo Salmieri, Tadeusz Wojciechowski, Maciej Figas, Ruben Silva, Wojciech Rajski, Andrzej Knap, Grzegorz Nowak, Jose Maria Florencio, Ricardo Castro i Claudio Crus oraz reżyserami: Lech Majewski, Marc Verzatt, Thor Steingraber, Waldemar Zawodziński, Janusz Józefowicz, Kristine Wuss, Dieter Kaegi i Andrzej Bubień
W dorobku artysty znajdują się również nagrania, m.in.: opery L. Cherubiniego Lodoïska, pieśni O. Kolberga, a także solowa płyta Parlami d’amore z najpiękniejszymi pieśniami neapolitańskimi.
