Urodził się we Wrocławiu, dorastał w Izraelu, gdzie studiował fortepian i kompozycję na Akademii Muzycznej w Tel Awiwie. Następnie przeniósł się do Paryża, gdzie kontynuował studia pod kierunkiem Perre’a Dervaux, potem u Hansa Swarowskyego w Wiedniu i Franco Ferrary w Sienie.
W 1971 roku zdobył I nagrodę na Konkursie im. Herberta von Karajana w Berlinie, a także Złoty Medal na Cantelli Competition organizowanym przez mediolańską La Scalę. Te wyróżnienia dały mu przepustkę do późniejszych prestiżowych kontraktów na świecie. Ostatnio (2012) Gabriel Chmura został odznaczony Nagrodą Jana Kiepury w kategorii Najlepszy Dyrygent.
Gabriel Chmura objął w 1974 roku funkcję dyrektora muzycznego Opery w Aachen (Niemcy) i pełnił ją do 1983, kiedy rozpoczął pracę jako dyrektor muzyczny Filharmonii w Bochum. W 1987 został dyrektorem muzycznym National Arts Centre Orchestra w Ottawie. Z tą orkiestrą odbył wiele tras koncertowych, zespół pod jego dyrekcją występował m.in. w nowojorskiej Carnegie Hall. W 2001 roku Gabriel Chmura został dyrektorem muzycznym NOSPR w Katowicach, a w sierpniu 2012 – dyrektorem artystycznym Teatru Wielkiego w Poznaniu. Od września 2015 pełni funkcję pierwszego dyrygenta gościnnego Filharmonii Krakowskiej.
W dowód uznania dla jego osiągnięć, wkładu artystycznego w rozwój sztuki muzycznej, życia artystycznego i promocji polskiej muzyki senat Akademii Muzycznej im. Karola Lipińskiego we Wrocławiu uhonorował Gabriela Chmurę tytułem doktora honoris causa (2013).
Jego monachijski debiut w 1974 roku wyznaczył Otello, po którym przyszła Carmen. Następnie dyrygował spektaklami Samsona i Dalili w Barcelonie, wysoko ocenionego przez krytykę Werthera w Operze Paryskiej i Złotego kogucika w paryskim Chatelet. Z orkiestrą National Arts Centre zrealizował „cykl da Ponte” (Wesele Figara, Don Giovanni, Cosi fan tutte), Fausta (w inscenizacji Roberta Wilsona) w Teatrze Wielkim – Operze Narodowej w Warszawie i wiele innych produkcji. Wśród ostatnich spektakli prowadzonych przez niego na warszawskiej scenie znajduje się Pasażerka Mieczysława Weinberga i Moby Dick Eugeniusza Knapika. Drugą operą Weinberga, której wykonania poprowadził, był Portret w Nancy. Obydwie opery wystawiono w reżyserii Davida Pountneya.
Gabriel Chmura nagrał wiele płyt, m.in. z London Symphony Orchestra dla Deutsche Grammophon, a z orkiestrami radiowymi z Monachium i Berlina – dla CBS. Łazarz Schuberta ze Stuttgart Radio Orchestra, Hermannem Preyem i Edith Mathis ukazał się nakładem wytwórni Orfeo i zdobył „Grand Prix de Disque Mondial de Montreux”. Jego nagrania Symfonii nr 6, 7 i 8 Haydna z National Arts Centre Orchestra dla CBC zostały wyróżnione jako „Best Choice” American Record Guide i nominowane do kanadyjskiej nagrody JUNO. Nagranie I Symfonii Mahlera i Valse Triste Sibeliusa zostały bardzo dobrze przyjęte w Europie.
Po wielkim sukcesie pierwszych dwóch płyt z muzyką Weinberga wydanych przez Chandos (V Symfonia, I Sinfonietta, IV Symfonia, II Sinfonietta oraz Rapsodia na tematy mołdawskie) serię uzupełniły nagrania XIV i XVI Symfonii.
