W wieku siedmiu lat rozpoczęła naukę gry na skrzypcach i fortepianie. Ukończyła wydział wokalny Akademii Muzycznej we Wrocławiu oraz Hochschule für Musik und Theater w Hamburgu. Laureatka konkursów wokalnych w Warszawie, Helsinkach, Barcelonie i Kantonie. Jeszcze podczas studiów w 1999 roku zadebiutowała jako Zuzanna w Weselu Figara na scenie Opery Wrocławskiej.
W wieku 27 lat wystąpiła w dwóch najbardziej prestiżowych teatrach operowych świata. Rolą Olimpii w Opowieściach Hoffmanna w Metropolitan Opera w Nowym Jorku zdobyła wielkie uznanie wśród nowojorskich krytyków muzycznych, którzy jednogłośnie wypowiadali się na łamach prasy o sensacyjnym debiucie polskiej śpiewaczki. Z równie entuzjastycznym odbiorem artystka spotkała się także jako Aspasia w londyńskim przedstawieniu Mitridate, re di Ponto w Royal Opera House.
Aleksandra Kurzak powróciła do MET, występując w roli Blondy w Uprowadzeniu z Seraju, Gildy w Rigoletcie, Małgosi w operze Jaś i Małgosia, Adiny w Napoju miłosnym, Neddy w Pajacach, Micaeli w Carmen, Musetty w Cyganerii oraz w roli Violetty w Traviacie i tytułowej Toski, odnosząc prawdziwy triumf na tej scenie. Artystka regularnie powraca również do Royal Opera House w Londynie, która stała się niemal jej macierzystym teatrem. Wystąpiła tam także jako Norina w Don Pasquale, Adina w Napoju miłosnym, Zuzanna, a także jako tytułowa Matylda w Matilde di Shabran, Donna Fiorilla w Turku w Italii, Rozyna w Cyruliku sewilskim, Gilda w Rigoletcie, tytułowa Lucia di Lammermoor, Liu w Turandot, Violetta w Traviacie, Nedda w Pajacach oraz Santuzza w Rycerskości wieśniaczej.
Aleksandra Kurzak regularnie występuje na najważniejszych scenach i estradach świata: Teatro alla Scala w Mediolanie (Gilda, Zuzanna, Hrabina w operze Rossiniego Hrabia Ory), Wiener Staatsoper (Rozyna, Adina, Zuzanna, Violetta w Traviacie, Maria w Córce pułku, Desdemona w verdiowskim Otellu, Liu w Turandot, Nedda w Pajacach), Bayerische Staatsoper w Monachium (Kleopatra w Juliuszu Cezarze, Adela w Zemście nietoperza, Rozyna, Donna Fiorilla, Rachel w Żydówce, tytułowa Madama Butterfly i La Traviata), Teatro Massimo w Palermo (Norina, Santuzza w Rycerskości wieśniaczej), Welsh National Opera w Cardiff (Aspasia), Théâtre du Capitole w Tuluzie (Gilda), Theater an der Wien (Donna Anna w Don Giovannim, Amenaide w Tancredzie), Palau de les Arts Reina Sofía w Walencji (Adina), Lyric Opera House w Chicago (Blonde), Staatsoper w Berlinie (Królowa Nocy w Czarodziejskim flecie, Mimi w Cygenerii, tytułowa Madama Butterfly), Deutsche Oper w Berlinie (Violetta, Nedda), w Operze w Helsinkach (Gilda), na letnim festiwalu w Salzburgu (Anusia w Wolnym strzelcu, Donna Anna), w Accademia Nazionale di Santa Cecilia w Rzymie (Carmina Burana), Teatro La Fenice w Wenecji (Donna Anna), Teatro Regio di Torino (Violetta), Teatro Regio di Parma (Gilda), Gran Teatre del Liceu w Barcelonie (Adina, Nedda), w Teatrze Wielkim - Operze Narodowej w Warszawie (Hanna w Strasznym dworze, Gilda, Violetta, Łucja, Madame Butterfly), Teatro Real w Madrycie (Zuzanna, Maria), Arena di Verona (Rozyna, Julia w Romeo i Julii, Gilda, Violetta, Nedda oraz Santuzza), Los Angeles Opera (Fiordiligi w Così fan tutte), San Francisco Opera (Gilda), Seattle Opera (tytułowa Łucja z Lammermooru), Teatro di San Carlo w Neapolu (Violetta, Rozyna w Cyruliku sewilskim), Teatro dell’Opera di Roma (Adina).
Bardzo ważną sceną w karierze Aleksandry Kurzak stała się Opéra national de Paris (Opera Bastille oraz Palais Garnier), gdzie zadebiutowała rolą Adiny w Napoju miłosnym, a następnie konsekwentnie powiększała swój repertuar, wykonując szereg nowych partii, takich jak: Micaela w Carmen, Alice Ford w Falstaffie, Vitellia w Łaskawości Tytusa, Violetta w Traviacie, Desdemona w verdiowskim Otellu, oraz Elisabetta w pięcioaktowej wersji Don Carlosa.
Aleksandra Kurzak jako pierwsza Polka w historii wokalistyki podpisała ekskluzywny kontrakt z firmą fonograficzną DECCA. W sierpniu 2011 roku ukazał się jej pierwszy solowy album Gioia!, który osiągnął status platynowej płyty. Kolejne albumy artystki to Bel Raggio z ariami Rossiniego oraz Hej, kolęda! z najpiękniejszymi polskimi kolędami. Oba nagrania zostały nagrodzone złotą płytą. Natomiast album pieśni Fryderyka Chopina dla Narodowego Instytutu Fryderyka Chopina otrzymał prestiżowe wyróżnienie Diapason d’or.
W 2018 Aleksandra Kurzak w towarzystwie Roberto Alagna dla firmy fonograficznej SONY nagrała swój pierwszy album z duetami Pucciniego, zatytułowany Puccini in Love. W 2020 ukazała się jej nowa solowa płyta solowa Desire. Aleksandra Kurzak nagrywała także dla Deutsche Grammophon, Warner Classics. W 2021 roku ukazała się jej kolejna solowa płyta Mozart Concertante dla wytwórni Aparté.
W 2009 roku uzyskała tytuł doktora sztuki, w 2016 tytuł doktora habilitowanego, a w 2021 otrzymała tytuł profesora belwederskiego.
Aleksandra Kurzak otrzymała dwukrotnie stypendium Ministra Kultury i Sztuki, a także stypendium Fundacji Crescendum Est – Polonia Aleksandra Gudzowatego. Za swoje osiągnięcia została uhonorowana nagrodami Prezydenta Wrocławia, Wojewody Dolnośląskiego oraz Ministra Kultury i Dziedzictwa Narodowego.
Jest także laureatką nagrody Akademii Telewizyjnej Wiktor oraz nagrody TVP Kultura Gwarancja Kultury. W 2015 roku otrzymała International Opera Award i została laureatką Bachtrack Opera Award jako najlepsza śpiewaczka mijającego sezonu za rolę Donny Fiorilli w Royal Opera House w Londynie.
W 2014 roku ukazała się książka Si, Amore – pierwsza biografia artystki, w formie wywiadu rzeki, napisana przez Aleksandra Laskowskiego dla wydawnictwa PWM. Natomiast w listopadzie 2022 roku pojawiła się na rynku książka Aleksandry Kurzak i Marzeny Rogalskiej pt. Dobrissimo! Opera od kuchni, wydana przez wydawnictwo ZNAK, będąca zbiorem opowieści o miłości do opery i kuchni, a zarazem wyjątkowa biografia artystki.
Artystka została odznaczona Złotym Krzyżem Zasługi, a także Złotym Medalem Zasłużony Kulturze Gloria Artis.
