Elchin Azizov pochodzi z Azerbejdżanu. Ukończył reżyserię filmową na Uniwersytecie Kultury i Sztuki w Baku. Następnie kształcił się w studiu operowym Akademii Muzycznej w Baku (w klasie dyrygenta Azada Aliyeva) oraz na Uniwersytecie Mozarteum w Salzburgu (pod okiem Richarda Millera i Alessandro Misciasciego).
Po powrocie z Salzburga, dołączył do Centrum Śpiewu Operowego Galiny Wiszniewskiej w Moskwie, z którym związany był w tym czasie także Badri Maisuradze.
Od 2008 Elchin Azizov jest solistą Teatru Bolszoj w Moskwie.
W swojej karierze wykonywał wiele głównych partii, mi.n. Escamillo w Carmen (Centrum Śpiewu Operowego Galiny Wiszniewskiej, Teatr Bolszoj), Eugeniusza Onegina (Centrum Śpiewu Operowego Galiny Wiszniewskiej, Teatr Bolszoj, Teatr Michajłowski), Księcia Tomskiego w Damie pikowej czy Leandera w Miłości do trzech pomarańczy (obie w Teatr Bolszoj).
Kreował także role Jago w Otellu (Konserwatorium Moskiewskie, pod batutą Władimira Fiedosiejewa), Grigorija Griaznoja w Carskiej narzeczonej (Teatr Bolszoj oraz Tallin, Londyn i Hong Kong Arts Festival), Amonasro w Aidzie (Santiago de Chile), Ibn-Hakia w Jolancie (Theater an der Wien, Teatr Bolszoj), Barona Scarpii w Tosce, Szczełkałowa w Borysie Godunowie, Makbeta, Alfredo Germonta w Traviacie, Dr Falke w Zemście nietoperza, Igora Światosławowicza w Kniaziu Igorze, Hrabiego Luny w Trubadurze (Limoges, Reims), Arcykapłana Dagona w Samsonie i Dalili (Rzym) czy Ibn-Hakia w Jolancie (Metropolitan Opera, Nowy Jork). Wykonał także symfonię Dzwony Rachmaninowa z waszyngtońską National Symphony Orchestra.
Aktualnie artystę można oglądać w partii Escamillo w Carmen (Teatr Bolszoj) oraz Ibn-Hakia w Jolancie (Warszawa).
Elchin Azizov jest laureatem Międzynarodowego Konkursu Wokalistyki Operowej im. Galiny Wiszniewskiej (druga nagroda, 2008) oraz Międzynarodowego Konkursu Wokalistyki Operowej im. Byul-Byula w Baku (czwarta nagroda, 2005).
Wystąpił w wielu filmach w Azerbejdżanie, Rosji i Turcji. Wyreżyserował także kilka filmów i spektakli teatralnych.
