Studiował śpiew na Akademii Muzycznej w Sofii oraz Uniwersytecie Muzycznym w Grazu (klasa prof. Joanny Borowskiej. Swoje umiejętności doskonalił także pod kierunkiem Krassimiry Stoyanovej, która pozostaje jego pedagogiem.
W latach 2011-13 był solistą Teatru w Coburgu, gdzie jego repertuar obejmował partię Nadira w Poławiaczach pereł Bizeta, Alfreda w Traviacie Verdiego, Tybalta w Capuletich i Montecchich Belliniego, Pinkertona w Madame Butterfly Pucciniego, Leńskiego w Eugeniuszu Onieginie Czajkowskiego, Riccarda w Balu maskowym Verdiego, Rodolfa w Cyganerii Pucciniego, Pollia w Normie Belliniego, Śpiewaka w Kawalerze srebrnej róży R. Straussa, Geralda w Lakmé Delibes'a oraz Księcia Mantui w Rigolettcie Verdiego. Następnie artysta powrócił gościnnie na scenę Teatru w Coburgu jako Cavaradossi w Tosce Pucciniego, Książę Sou Chong w Krainie śmiechu Lehára oraz Książę w Rusałce Dvořáka.
W sezonie 2022/23 Milen Bozhkov zadebiutował jako Radamès w Aidzie w Teatrze Wielkim - Operze Narodowej w Warszawie, gdzie powróci w tej samej partii w sezonie 2023/24. Jako Radamès wystąpi także we Felsenreitschule w Salzburgu. W Operze Państwowej w Starej Zagorze zaśpiewa partię Otella i powrócił na deski Theatre Krefeld/Mönchengladbach jako Pinkerton w Madame Butterfly. Artysta zadebiutuje także jako Herod w Salome w Operze w Metz, gdzie w sezonie 2022/23 był Księciem w Rusałce Dvořáka.
W ostatnim czasie zadebiutował w partii Otella w operze Verdiego u boku Krassimiry Stoyanovej na Letnim Festiwalu w Warnie. Wystąpił także po raz pierwszy jak Canio w Pajacach Leoncavalla w Ulm, natomiast w Teatrze w Krefeld/Mönchengladbach wykonał partię Pinkertona w Madame Butterfly Pucciniego oraz Księcia w Rusałce Dvořáka. Odniósł ogromny sukces jako Radamès (Aida) i Cavaradossi (Tosca) na Letnim Festiwalu w Warnie, gdzie wziął także udział w koncercie galowym u boku Soni Yonchevy. Wcielił się również w postać Ismaela (Nabucco) w amfiteatrze w Płowdiwie (Bułgaria).
Jedną z najczęściej wykonywanych przez artystę partii jest Don José, którą zaśpiewał Teatrze Państwowym w Norymberdze, Narodowym Teatrze Opery i Baletu Albanii, a w sezonie 2020/21 nowej inscenizacji Carmen w Teatrze Państwowym w Kessel. Latem 2022 roku zaprezentował się w tej roli podczas koncertu plenerowego z Orkiestrą Filharmonii w Hagen.
Artystę można było także usłyszeć w roli Gustava w Balu maskowym Verdiego w Narodowym Teatrze Opery i Baletu Albanii; Dona José w Teatrze w Coburgu; Księcia w Rusałce Dvořáka w Operze w Halle oraz Komisarza w Cardillacu Hindemitha w Teatrze w Hagen.
Wystąpił także gościnnie jako Pinkerton w Teatrze Państwowym w Darmstadt oraz Operze Narodowej w Sofii, Rodolfo w Teatrze Państwowym w Norymberdze oraz Teatrze w Detmold, Książę Mantui na Festiwalu w Schenkenbergu oraz Aalto Theatre Essen, a także Don José na Festiwalu w Schenkenbergu oraz Operze Państwowej w Starej Zagorze.
Z repertuarem koncertowym wystąpił w Japonii, Austrii, Niemczech, Słowenii, Chorwacji, na Łotwie i w Bułgarii. Latem 2022 roku wykonał Mszę św. Cecylii Gounoda w Lucernie.
