Ukończył Liceum Muzyczne im. Feliksa Nowowiejskiego w Gdańsku w klasie fortepianu, następnie studia wokalne w Akademii Muzycznej im. Stanisława Moniuszki w Gdańsku oraz w Hochschule für Musik Hanns Eisler w Berlinie, gdzie studiował jako stypendysta Polsko-Niemieckiego Towarzystwa Akademickiego w Krakowie oraz Fundacji Alferda Toepfera w Hamburgu. Jest również absolwentem studiów MBA prowadzonych przez Akademię Ekonomiczną w Poznaniu wraz z Georgia State University w Atlancie, a także Szkoły Głównej Handlowej w Warszawie oraz Instytutu Anglistyki Uniwersytetu Warszawskiego. Doskonalił swe umiejętności wokalne podczas wielu kursów mistrzowskich, m.in. w ramach Bachakademie w Stuttgarcie i Dartington International Summer School. Obcenie jest pod opieką wokalną Deborah Polaski. W 1998 został laureatem VI Międzynarodowego Konkursu Śpiewu Koloraturowego im. Sylvii Geszty w Luxemburgu.
W 1998 r. rozpoczął współpracę z Warszawską Operą Kameralną, z którą był związany zawodowo przez wiele lat. Na scenie tej wykonał liczne role tenorowe, m.in. Achillesa w Tetydzie na Skyros Domenica Scarlattiego, Mitridatesa, Idomenea, Solimana w Zaide i Monostatosa w Czarodziejskim flecie Wolfganga Amadeusza Mozarta, Almavivę w Cyruliku sewilskim Gioacchina Rossiniego, Maksa w Wolnym strzelcu Carla Marii von Webera, Lacę Klemeňa w Jenůfie Leoša Janačka oraz Lurcania w Ariodante Georga Friedricha Haendla. Brał także udział w tournées zagranicznych Warszawskiej Opery Kameralnej w Hiszpanii, Francji i Japonii. Ponadto występował na scenach Deutsche Oper am Rhein w Düsseldorfie, Staatsoper Unter den Linden w Berlinie, Sophiensaele w Berlinie, Opery Wrocławskiej, Polskiej Opery Królewskiej, Teatru Wielkiego - Opery Narodowej i Teatru Narodowego w Warszawie m.in. jako Florestan w Fideliu Ludwiga van Beethovena, Pasterz w Królu Rogerze Karola Szymanowskiego, Luzio w Zakazie miłości Richarda Wagnera, Zefirino w Podróży do Reims Gioacchina Rossiniego, Paw w Zerwanych strunach Parama Vira, Adrasto w Antygonie Tommasa Traetty, Red Whiskers w Billym Buddzie Benjamina Brittena i Oficer w Cardillacu Paula Hindemitha.
Na estradzie koncertowej Wojciech Parchem debiutował już na pierwszym roku studiów wokalnych, wykonując w 1994 roku w ramach współpracy Akademii Muzycznej im. Stanisława Moniuszki w Gdańsku z Instytutem Muzyki Kościelnej w Erlangen partię Ewangelisty w Passio Christi Johanna Balthasara Christiana Freisslicha. Także w czasie studiów artysta zasłynął przygotowaniem w ciągu dwóch dni partii barytonowej w Pasji wg św. Łukasza Krzysztofa Pendereckiego w zastępstwie za legendarnego Andrzeja Hiolskiego, ratując tym samym uroczyste wykonanie tego dzieła podczas koncertu będącego zwieńczeniem muzycznych obchodów 1000-lecia miasta Gdańska.
Od tego czasu tenor prowadzi intensywną działalność koncertową, w ramach której wystąpił m.in. w filharmoniach: Narodowej, Bałtyckiej, Pomorskiej, Krakowskiej, Zielonogórskiej; Studiu Koncertowym Polskiego Radia im. W. Lutosławskiego, Tonhalle w Zurychu, Cité de la Musique w Paryżu, Konzerthaus w Berlinie, Palau de la Música w Walencji, Filharmonii w Brnie, wykonując dzieła Johana Sebastiana Bacha, Benjamina Brittena, Grzegorza Gerwazego Gorczyckiego, Georga Friedricha Haendla, Leoša Janačka, Marcina Mielczewskiego, Claudia Monteverdiego, Wolfganga Amadeusza Mozarta, Krzysztofa Pendereckiego, Henry’ego Purcella, Arnolda Schönberga, Mikołaja Zieleńskiego i innych.
Artysta z zamiłowaniem wykonuje dzieła kompozytorów współczesnych, biorąc udział w prawykonaniach m.in. oper Antygona Zbigniewa Rudzińskiego, Madame la Pest Gerharda Stäblera, Immanuel Kant Leszka Możdzera oraz uczestnicząc w projektach takich jak Międzynarodowy Konkurs Kompozytorski im. Stanisława Moniuszki na mikrooperę 12 minut dla Moniuszki.
Wojciech Parchem współpracował z wieloma zespołami muzyki dawnej w kraju i za granicą oraz dokonał nagrań dla Polskiego Radia i firm fonograficznych, co zaowocowało publikacją szeregu rejestracji na CD. Ostatnio z jego udziałem ukazało się wysoko ocenione przez międzynarodową krytykę nagranie z Filharmonią w Brnie kantaty Lenora Antonina Rejchy oraz wydana w listopadzie 2024 roku płyta Music of David Eisenstadt z kompozycjami kierownika chóru Wielkiej Synagogi na Tłomackiem, Dawida Ajzensztadta, okrzykniętymi najwspanialszymi osiągnięciami sztuki wokalnej w Polsce, którym kres położył wybuch II wojny światowej.
Poza działalnością artystyczną Wojciech Parchem pełni od 2006 roku funkcje menedżerskie, m.in. jako kierownik działu organizacji pracy artystycznej w Warszawskiej Operze Kameralnej czy pełnomocnik dyrektora ds. organizacji wydarzeń krajowych i międzynarodowych w Teatrze Wielkim - Operze Narodowej.
